Ohledně kvality této práce jsem značně skeptický: v mnoha ohledech povrchní, v těch ostatních nesrozumitelná a, což vnímám nejbolestněji, je nudná. Dávám ji všanc proto, abych si pro naše setkání na Sázavě neuzurpoval nepřiměřenou výhodu, a abyste se mohli kvalifikovaněji rozhodnout, jestli mě vůbec chcete potkat.
Nečtěte to celé (pak byste měli Vy výhodu oproti mně, ani já to nedočetl), přečtete-li však kap.I, ujasní se tím rámec, ve kterém se pohybuji, a snad některé základní věci, které bych jinak musel obšírně vysvětlovat.

Úvod

Teorie množin, jejímž cílem bylo zprvu zachytit aktuální nekonečno, se přes obtíže svého vzniku stala nejúspěšnější moderní matematickou disciplínou. Matematické analýze umožnila dosažení dlouho hledané jasnosti základů, algebře usnadnila cestu k novým obecným strukturám, dala život novým oborům, elegantní teorii míry s exaktní teorií pravděpodobnosti či obecné topologii. Sama aktuální nekonečno nahradila nekonečny a podala přesvědčivou analýzu tohoto jevu. Stala se základní teorií matematiky. Klasické matematické pojmy byly úspěšně definovány v jazyce teorie množin a zavádění nových pojmů se děje zpravidla prostřednictvím explicitních množinových definic. 
Definujeme-li v teorii množin nějaký původní pojem, např. reálného či přirozeného čísla, lze si položit otázku, je-li tato definice adekvátní. Víra, že tomu tak je, implicitně obsažená v každé matematické práci, má nejméně dva zdroje: intuici toho, co jsou množiny, a matematickou praxi, v níž se tyto definice osvědčily. Důvěřujeme-li teorii množin, je evidentní ztotožnit přirozená čísla s jistými konečnými množinami, konečnými ordinály. Tento předpoklad obstál ve všech testech každodenní matematiky, nevedl k závěrům v rozporu s původním užitím přirozených čísel a většina zásadních vět aritmetiky byla v teorii množin dokázána. Při tomto porovnávání množinového a původního pojmu není však zpravidla ani jedna strana pevně dána. Během zrodu teorie množin se množinové intuice zušlechťovaly jak kvůli požadavku logické bezespornosti, tak i aplikacím teorie množin na analýzu stávajících matematických pojmů. Naopak úspěch teorie množin proměňuje původní pojmy. Existence reálné funkce, která je spojitá a nikde nediferencovatelná, by dříve byla paradoxem, ale dnes je všedním faktem. I v případě čísel je obtížné si představit možný test množinové definice, vždyť množinové postupy jsou používány k důkazu aritmetických tvrzení.
Významným pojmem analyzovaným v teorii množin, který daleko překračuje matematický rámec, je pojem logického vyplývání. Problém adekvace množinové definice vyplývání bude hlavním tématem této práce. Z hlediska základů matematiky je tato otázka významná alespoň ze dvou důvodů. Za prvé, teorie množin je základní teorií matematiky, její axiomy byly vytvořeny tak, aby uspokojily některé velmi soukromé potřeby matematiků, a je otázka, proč by měla teorie množin sloužit stejně dobře základům logiky či třeba sémantiky. Je-li tomu tak, je to netriviální fakt hodný pozornosti a snad i vysvětlení. Za druhé, teorie množin se na cestě k nejvyšší obecnosti natolik vzdálila běžným intuicím, že často nejsme schopni nahlédnout pravdivost či nepravdivost podstatného množinového tvrzení a jindy se docela mýlíme. Proto se do ohniska pozornosti namísto pravdivosti dostává otázka konzistence – pojem vyplývání, který je na jednu stranu analyzován v jejích termínech, je na druhou stranu i jejím základním pojmem. Avšak v současné teorii množin není zkoumání konzistence nutnou podmínkou zkoumání pravdivosti, ale účelem o sobě. Existují různá konzistentní rozšíření axiomů teorie množin, která nejsou vzájemně slučitelná a mezi kterými nejsme schopni jednoznačně rozhodnout. Valná část moderní teorie množin spočívá právě a pouze ve studiu vzájemných logických vztahů mezi tvrzeními, jejich slučitelnosti a odvoditelnosti. Kdyby však adekvátní pojetí logického vyplývání bylo jiné než to běžně přijímané, mohlo by se například ukázat, že některá rozšíření teorie množin, která dnes považujeme za konzistentní, taková nejsou a dostali bychom silnější způsob, jak volit mezi alternativními rozšířeními, a třeba opět hovořit o pravdivosti v teorii množin – a snad tak částečně rozptýlit onu údajnou krizi formalismu.

I.kapitola

1. Obecný problém vyplývání

Pojmu vyplývání lze užívat takovým způsobem, že je téměř vzájemně definovatelný s pojmem analytičnosti. Tak např. můžeme říci
v češtině z věty „Petr je sourozenec Pavla“ vyplývá věta „Pavel je sourozenec Petra“
nebo
v češtině z věty „někdo je vdovec“ plyne věta „nějaký muž není ženatý“
V tomto smyslu bychom mohli mluvit o analytickém vyplývání. Na rozdíl od těchto příkladů
v češtině z věty „někdo je vdovec a někdo je ženatý“ vyplývá věta „někdo je vdovec“
může být považováno za instanci logického vyplývání. Mohli bychom mluvit třebas i o matematickém vyplývání, s exemplifikací
v češtině z věty „na stole je o polovinu méně hrušek než jablek“ vyplývá věta „na stole není pět jablek“ 
Rozdíl mezi analytickým a logickým vyplýváním tkví zřejmě v tom, že logické vyplývání je určeno pouze významy logických pojmů. Tak ve třetím příkladě nezávisí platnost vyplývání na významu „ženatý“ či „vdovec“, ale pouze na významu spojky „a“, kterou považujeme za logickou. Tak bychom mohli dostat různé případy vyplývání v závislosti na tom, významy kterých slov má být určeno, a různé druhy vyplývání podle toho, na kterém druhu slov má záviset: logické na logických, matematické vyplývání navíc na matematických pojmech a analytické na všech.

Protože v třetím příkladě platnost vyplývání nezávisí na významech obou konjunktů, můžeme jej nahradit schématem 
v češtině z „p a q“ vyplývá „p“ 
Dosadíme-li za „p“ a „q“ libovolné české věty (s jistými omezeními), dostaneme platný případ vyplývání. Platnost tohoto schématu se však zdá být zaručena již významem spojky „a“ do takové míry, že podstatně nezávisí na konkrétním slovníku češtiny. Kdyby byla čeština rozšířena o nové slovo, k čemuž ostatně neustále dochází, nově vzniklé věty by stále splňovaly dané schéma – pochopitelně, pokud by se nezměnil význam „a“. Považujeme-li dva jazyky s různým slovníkem za různé, lze potom hovořit o třídě jazyků se stejnou či podobnou syntaxí, v nichž má spojka „a“ stejný či podobný význam. Pro tyto jazyky lze mluvit o vyplývání vzhledem k významu této spojky.
Tak například mluvíme o jazycích predikátové logiky prvního řádu. Ty se vzájemně liší jen specifickým slovníkem, kterým je určen syntax každého z nich podle společných syntaktických pravidel. Kromě toho obsahují společné symboly, jejichž významy považujeme za podstatně nezávislé na tom či onom konkrétním jazyce, spojky, kvantifikátory. Vyplýváním pro jazyky predikátové logiky prvního řádu se myslí vyplývání určené významy právě těchto znaků.

Dosavadní diskuse silně závisí na naivním pojmu významu. Dát těmto stručným odstavcům jasný smysl , stejně jako řešit problém vyplývání v jeho šíři, by zřejmě vyžadovalo nejprve řešit obecný problém významu. Leckteré z dřívějších tvrzení by se pak mohlo ukázat nepravdivé či špatně formulované, stejně jako by vyřešení problému významu mohlo vést k částečné destrukci problému vyplývání. Mohlo by se ukázat, že významy slov obecně neurčují relaci vyplývání, a naopak, že tato relace obecně nedává žádnou důležitou sémantickou charakteristiku jazyka. Konkrétně by třeba W.V.Quine mohl pochybovat, jestli adekvátní teorie významu pro český jazyk musí implikovat nějakou zvláštní relaci mezi větami „Petr je sourozencem Pavla“ a „Pavel je sourozencem Petra“. V případě pojmů, které jsme nazvali logickými či matematickými, lze však od teorie významu očekávat, že vysvětlí jejich roli ve vyplývacích vztazích v běžném životě či vědecké praxi. 
Tato práce se omezí především na vyplývání pro jazyky predikátové logiky prvního řádu, tedy na poměrně specifický problém. Důvodem je, příkře řečeno, malá kompetence autora zabývat se problémem v jeho obecnosti. Toto omezení má ale i hlubší kořeny: to, že se omezíme na specifický případ, nám umožní do značné míry eliminovat problém významu. Analogická je situace u pojmu pravdy: pro specifický jazyk jsme schopni říci, co je pravdivost jeho vět, obecně však pravdu schopni definovat nejsme a pravděpodobně to vůbec není možné. Tak i my budeme analyzovat významy některých slov, aniž bychom museli analyzovat obecný pojem „význam“ a vposledku se bez něho obejdeme. Problém vyplývání pro predikátovou logiku prvního řádu je navíc zajímavý o sobě. Pro přirozené jazyky, jak je známe, lze velkou část každého z nich považovat za jazyk predikátové logiky prvního řádu. Většina částečně umělých jazyků jednotlivých věd včetně matematiky jsou právě jazyky tohoto druhu. Konečně, je tento problém natolik netriviální, aby si zasloužil samostatnou pozornost.

2. Jazyky predikátové logiky prvního řádu

Slovník nějakého jazyka predikátové logiky prvního řádu (dále též „jazyk prvního řádu“) obsahuje logické spojky „“ , „“, „“„“, „“, kvantifikátory „“, „“, nekonečně proměnných „x“, „y“…nebo lépe „x1“, „x2“…, závorky „(“ a „)“ a (typicky konečnou) množinu unárních, binárních… predikátových symbolů. Protože jenom v predikátových symbolech se mohou jazyky prvního řádu lišit, budeme je nazývat vlastními znaky jazyka prvního řádu. Známým induktivním způsobem můžeme definovat, co jsou formule takového jazyka, řetězce znaků typu
Px  xRy, (x)(Px  xRy) , (y)(x)(Px  xRy)
, kde „P“ resp. „R“ je unární resp. binární symbol daného jazyka. Větou rozumíme uzavřenou formuli, což je formule, kde je každý výskyt proměnné vázán kvantifikátorem. Z uvedených formulí je to pouze poslední. Znaky a symboly rozumíme znakové typy a větami zase větné typy. Můžeme říci, že v tomto odstavci se vyskytuje třikrát tentýž znak „“, a také, že existuje věta aritmetiky, kterou nikdy nikdo nenapsal. Jazykem predikátové logiky prvního řádu (dále pouze „jazyk prvního řádu“ či pouze „jazyk“) budeme nazývat jakýkoliv jazyk s uvedenou syntaxí, v němž navíc spojky a kvantifikátory mají obvyklý význam. Předpokládáme tedy, že lze tyto znaky rozpoznat jako mající tentýž význam v různých jazycích. Jaký význam to je, na tomto místě neřekneme: význam spojek a kvantifikátorů je pravděpodobně definovatelný pravidly vyplývání pro jazyky prvního řádu - ale právě určení těchto pravidel je cílem následujících stránek. 
Bude nás zajímat relace vyplývání na těchto jazycích, která je nezávislá na významech vlastních znaků nějakého jazyka, ale pouze na významech symbolů jazykům prvního řádu společných (vyplývání prvního řádu). Nutnou podmínkou takového zavedení relace vyplývání je možnost identifikace některých symbolů jako majících tentýž význam v různých jazycích. Tato nezávislost významu na konkrétních jazycích je pravděpodobně základem klasifikace spojek a kvantifikátorů jako logických konstant, a chápání vyplývání prvního řádu jako logického vyplývání. Pro jednoduchost jsme předpokládali, že v jazycích prvního řádu jsou tyto symboly tytéž. Kdybychom uvažovali jazyk, který místo znaku „“ obsahuje spojku „“ či „a“, nebo místo běžných pravidel pro tvorbu vět obsahuje věty v polské notaci, snadno bychom našli takový překlad tohoto jazyka do nějakého jazyka zde uvažovaného druhu, který by neovlivnil vztahy vyplývání. Jak obecně definovat překlad v tomto smyslu by byla otázka stejné obtížnosti, jako vymezit jazyk prvního řádu bez předpokladu stejných syntaktických pravidel a identity spojek a kvantifikátorů (v II.1 definujeme překlad ve zcela odlišném smyslu). 
Význam kvantifikátorů „“ resp. „“ se podobá českému, „každý“ resp. „existuje“, „některý“, významy prvních tří spojek zas spojkám „a“, slučovacímu „nebo“ , „ne“. Tato podobnost však není absolutní. V jazycích prvního řádu však formulujeme fyziku a většinu matematiky. Tyto jazyky jsou do velké míry umělou konstrukcí. To samozřejmě neznamená, že by všechny jejich vlastnosti byly výsledkem nějaké stipulace. Má-li si zasloužit označení „jazyk“, nejméně pravdivost jeho vět nemůže být zcela arbitrární. Je-li nějaká fyzikální disciplína formulována v jazyce predikátové logiky, pak věty tohoto jazyka mají fyzikální význam a empiricky testovatelnou pravdivostní hodnotu. Ani relace vyplývání nemůže být arbitrární, neboť musí splňovat alespoň to, že z pravdivých vět vyplývají zase pravdivé věty. 
Po varování budeme uvažovat vyplývání i vzhledem k významům některých predikátových symbolů. Úloha vyplývání prvního řádu by se výrazně nezměnila, kdybychom mezi společné symboly jazyků prvního řádu zahrnuli i predikát rovnosti a uvažovali vyplývání, které zohledňuje jeho význam. I některé matematické symboly lze identifikovat jako nesoucí týž význam v různých jazycích a mluvit například o jazycích s čísly a vyplývání s čísly. Součástí této identifikace je zřejmě rozpoznání v těchto jazycích týchž vyplývacích vztahů, ve kterých číselné symboly figurují; otázky jaké vztahy to jsou se dotkneme v III.1 . V III.2 stručně zohledníme význam predikátu „y je vlastnost“ a relace „x má vlastnost y“. Tato úloha je vlastně úlohou vyplývání pro predikátovou logiku druhého řádu s unárními vlastnostmi. Jazyk s vlastnostmi či jazyk s čísly je druhem jazyka prvního řádu: jsou to ty jazyky prvního řádu, které mezi svými vlastními symboly obsahují nějaký s požadovaným významem. I v jazyce s čísly lze hovořit o vyplývání prvního řádu, zanedbáme-li významy číselných symbolů. Cokoli vyplývá v prvním řádu, vyplývá i s čísly, naopak to neplatí.

Vyplývání prvního řádu můžeme chápat jako ternární relaci tvaru
v jazyce prvního řádu L z množiny vět A vyplývá věta p
Tento vztah je formulován v nějakém jazyce popisujícím věty jazyka L, za „A“ a „p“ dosazujeme jméno množiny vět resp. věty. Například pro češtinu bychom se tomuto vykročení do metajazyka mohli vyhnout například pomocí spojky „a tedy“, jako ve větě
někdo je vdovec a někdo je ženatý, a tedy někdo je vdovec
„A tedy“ je (neextenzionální) spojkou, která svazuje české věty v českou větu, nikoli relací, která by gramaticky spojovala jména vět. Takový postup by však byl použitelný pouze na jazyky, které takovou spojku obsahují; žádný jazyk prvního řádu takový není (jazyk prvního řádu může obsahovat lecjaký predikát, ale jeho spojky jsme vymezili pevně). Nemohli bychom také zachytit relaci vyplývání pro případ nekonečné A. Nekonečnou množinu vět nelze postavit do konjunkce a říci „a tedy p“ ale nanejvýš ji definovat v nějakém jazyce a říci „z množiny takových a takových vět vyplývá p“. Tímto způsobem je vyplývání z nekonečně mnoha premis relevantní i prakticky: množinu A můžeme definovat např. jako množinu vět jazyka L, které jsou tvaru „p   p“. Řada matematicky závažných teorií, aritmetika a teorie množin, jsou teorie obsahující nekonečně mnoho vět. 
Jednotlivé jazyky prvního řádu se vzájemně liší jen vlastními symboly a jejich významy, na kterých však relace vyplývání prvního řádu nezávisí. Vzhledem k vyplývání je jedno, do jakého jazyka A a p náleží, odkaz k jazyku lze vypustit a budeme říkat prostě
z množiny vět A vyplývá věta p
Můžeme chápat vyplývání jako relaci mezi množinou vět (teorií) a větou. Větou rozumíme řetězec znaků splňující syntaktické požadavky, ale nechápeme ho jako součást nějakého jazyka; mohli bychom též mluvit o neinterpretované větě, protože u predikátových symbolů nepředpokládáme žádný význam, a tedy ani pravdivostní hodnotu. Podobně jazykem teorie budeme rozumět pouhý seznam vlastních symbolů bez ohledu na význam.

3. Standardní řešení

Pokusíme se analyzovat relaci vyplývání pro jazyky prvního řádu závisející pouze na významech symbolů společných jazykům prvního řádu. Tyto významy bychom mohli analyzovat v termínech teorie množin a nebo bychom je mohli charakterizovat právě udáním vztahů vyplývání, v nichž vystupují. Následující úvahu lze tedy chápat zároveň jako analýzu významu spojek a kvantifikátorů, jednak jako kritiku adekvace množinového pojetí vyplývání. Abychom odlišili pojem vyplývání, který má být teprve prozkoumán, od množinového pojetí, budeme ten původní značit jiným typem písma. Stejnou konvenci budeme používat pro konzistenci definovanou pomocí vyplývání jako
teorie T je konzistentní iff z T nevyplývá věta tvaru  (p  p) 

Ve standardním řešení problému vyplývání nejprve určíme několik syntaktických pravidel manipulace s větami, která jsou uvedena v každé učebnici logiky. Definujeme, že věta p je odvoditelná z množiny vět A, vznikne-li p konečně mnoha aplikacemi těchto pravidel na věty množiny A. Dále definujeme syntaktickou konzistenci a tautologii: teorie je (syntakticky) konzistentní, pokud z ní není odvoditelná věta tvaru „ (p  p)“, věta je tautologie, je-li odvoditelná z každé teorie. Vznikají ovšem otázky, jsou-li tato pravidla adekvátní, tj. jestli každá věta, která je odvoditelná z nějaké teorie, z ní i vyplývá, a jsou-li úplná, tj. jestli jsou všechny věty, které z nějaké teorie vyplývají, z ní také odvoditelné.
Budu předpokládat kladnou odpověď na první otázku. To neumím zdůvodnit lépe, než odkazem na intuitivní zřejmost jednotlivých pravidel. Zdá se nemožné, aby aplikace některého z nich na pravdivé věty dala nepravdivou, a tedy ani konečně mnoha jejich aplikacemi z pravdivých předpokladů nemůžeme dostat nepravdivý závěr. Nicméně budeme považovat toto tvrzení za hypotézu

(1) je-li z teorie A odvoditelná věta p, pak p vyplývá z A
a tedy je-li teorie T syntakticky nekonzistentní, pak T je nekonzistentní

Za tohoto předpokladu z nekonzistentní (a tedy nekonzistentní) teorie vyplývají všechny věty a mezi jinými i věty evidentně nepravdivé. Hypotéza (1) splňuje minimální test. Jak dokázal Post, existují konzistentní teorie. Jednou by se však mohlo ukázat, že např. teorie aritmetiky, a tedy i většina matematických a fyzikálních teorií, jsou nekonzistentní. Odstranění této nekonzistence by navíc mohlo být podmíněno znicotněním jejich vypovídací síly. V tom případě bychom asi hledali způsob, jak revidovat hypotézu (1), spíš než abychom zavrhli tyto teorie. Vírou každého matematika je, že tento „matematický Armagedon“ nikdy nenastane, a nyní nemáme důvod tuto hypotézu zavrhnout. Hlavním problémem bude úplnost odvozovacích pravidel. Otázky adekvace a úplnosti standardních pravidel nejsou symetrické. Druhá nechává více prostoru pro pochybnost, protože nemáme intuici, která by nám našeptala „a tato pravidla beze zbytku vystihují vyplývání“. Lze na ni navíc dát uspokojivější odpověď. Pro srovnání, kdybychom se pokusili definovat, co je člověk, našli bychom celou řadu vlastností, které člověku náleží, jako „rozumný“, „společenský“, ale jestli tyto charakteristiky vyčerpávají pojem člověka, by bylo obtížnější rozhodnout.
Ve smyslu záporné odpovědi na otázku úplnosti lze interpretovat Tarského známý, ale nejasný, článek On the Concept of Logical Consequence. Množinu standardních pravidel lze podle něj rozšířit o nové pravidlo tak, že takto obohacená pravidla budou opět adekvátní, a přitom jsou pomocí nich odvoditelné věty, které pomocí původních odvoditelné nejsou. Navíc neexistuje konečná množina syntaktických pravidel, pomocí nichž bychom z každé teorie mohli odvodit právě a pouze věty, které z ní vyplývají. 

Za druhé, ve standardním přístupu pomocí teorie množin zavedeme pojem struktury, což je množina mající jisté vlastnosti, a pravdivost věty ve struktuře. Model teorie je struktura, v níž jsou všechny věty této teorie pravdivé. Řekneme, že věta p vyplývá z množiny vět A právě když v každé struktuře, kde jsou pravdivé všechny věty množiny A, je pravdivá i věta p (resp. každý model A je i modelem p) Definujeme splnitelnost teorie a platnost věty: teorie je splnitelná, existuje-li její model, věta je platná, je-li pravdivá ve všech strukturách . Modelová definice vyplývání je považována za adekvátní definici vyplývání pro predikátovou logiku prvního řádu. Proto je důležitý výsledek, který pro spočetné teorie našel Godel (Godel, 1929) a zobecnil Henkin: „vyplývání“, „splnitelnost“ a „platnost“ zavedené v tomto odstavci jsou totožné s „odvoditelností“ , „konzistencí“ a „tautologičností“ odstavce minulého. To stačí formulovat takto
T je teorie prvního řádu.
Pak každá věta p vyplývá z T právě když p je odvoditelná z T .
Godelova věta bývá nazývána „větou o úplnosti logiky prvního řádu“, neboť dokazuje úplnost standardních pravidel, přijímáme-li modelovou definici vyplývání. 
Tarského článek lze chápat tak, že v době jeho napsání autor neznal Godelův výsledek. Později (Tarský, 1953) Tarský poznamenává:

As opposed to the notions of logical consequence and logical truth /odpovídá našemu „vyplývání“ a platnost“/, the related notions of logical derivability and logical validity / „odvoditelnost“ a „tautologie“/, when defined in terms of axioms and operations of inference, seem to have a rather accidental and arbitrary character. Hence it might seem natural to redefine these notions simply by stipulating that a sentence is  derivable from A if it is a logical consequence of A, and by identifying logically valid sentences with logically true sentences. From the results in Godel, it follows however that under the systems of axioms and operations of inference known from the literature the two methods of defining derivability and logical validity are entirely equivalent.

Tarský je přesvědčen o správnosti množinové definice vyplývání a přijímá její důsledky pro úplnost odvozovacích pravidel. Je ale snadné položit otázku, je-li sama množinová definice nepochybná a jestli věta o úplnosti neznamená pouze to, že všechny výhrady, které máme proti ztotožnění vyplývání s odvoditelností, lze beze zbytku použít ke kritice množinové definice. Věta o úplnosti spočívá na faktu, že každá konzistentní teorie má množinový model. V teorii množin lze však dokázat existenci celé řady množin, které bychom z rozličných důvodů mohli nazvat divnými: pýcha teoretiků, velké kardinály, či nedefinovatelné, nekonstruovatelné, neměřitelné množiny. Nelze vyloučit, že by se věta o úplnosti opírala právě o existenci podobně pochybných množin. Modely některých syntakticky konzistentních teorií by mohly být právě nějaké divné množiny, a kdyby tyto byly z množinového universa vyloučeny, dostali bychom silnější modelovou definici vyplývání a následnou neúplnost standardních pravidel odvozování. 
Tarského kritika úplnosti standardních pravidel odvozování je úzce spjata s jiným slavným Godelovým výsledkem, s větou o neúplnosti aritmetiky(Godel, 1931). Godel dokázal, že známé teorie prvního řádu, zamýšlené popisovat přirozená čísla, jsou neúplné v tom smyslu, že existuje věta jazyka této teorie taková, že z této teorie není odvoditelná ani ona, ani její negace (tzv. nerozhodnutelná věta). Příkladem může být Peanova aritmetika (PA), kde axiom indukce chápeme jako axiomové schéma. Úplností zde tedy myslíme něco jiného než v předchozích odstavcích: tam šlo o úplnost pravidel odvozování, tady o úplnost nějaké teorie. Godelův výsledek může být zobecněn na každou „dostatečně bohatou“ teorii, která je navíc „dobře definovaná“. Lze se setkat s daleko silnější formulací tohoto tvrzení, že existuje věta, která je nerozhodnutelná a zároveň pravdivá, tj. že existují věty jazyka PA, které jsou neodvoditelné z PA a přitom pravdivé. V závislosti na tom, co v takové formulaci míníme pravdivostí, lze dostat nejméně dvě odlišné interpretace tohoto tvrzení:

I) pravdivou větou PA můžeme rozumět větu, která vyplývá z PA. Pak pochopitelně nelze ztotožnit vyplývání s odvoditelností a Godelovu větu musíme považovat za důkaz neúplnosti a nezúplnitelnosti standardních pravidel odvozování. 
II) pravdivou větou PA můžeme rozumět větu, která je pravdivá, když vlastní symboly teorie PA chápeme obvyklým způsobem, tedy např. „+“ jako operaci sčítání, „0“ jako znak pro nulu. Můžeme tvrdit, že pravidla odvozování jsou úplná, a Godelovu větu interpretovat tak, že PA, chápaná jako neinterpretovaná teorie, nevystihuje význam aritmetických pojmů ani ve smyslu odvoditelnosti všech pravdivých vět aritmetiky.

V prvním případě připisujeme neúplnost odvozovacím pravidlům, v druhém konkrétní teorii. Toto rozdělení zodpovědnosti není bezvýznamné, není jedno, jestli přidáme nový axiom k nějaké teorii, nebo nové odvozovací pravidlo: zatímco axiom ovlivní pouze onu teorii, pravidlo odvozování používáme ve všech teoriích prvního řádu. 
Nejasnost Tarského článku tkví v tom, že nerozlišuje mezi těmito alternativami. Neříká totiž, jestli v teorii považuje symboly aritmetiky za interpretované nebo ne, a jestli jejich významy zohledňuje v pojmu vyplývání. Některé formulace se však blíží pojetí I. a podobné tendence najdeme i u některých našich současníků. Pouze druhá interpretace je v souladu s citovanou větou o úplnosti logiky prvního řádu a modelovým pojetím vyplývání. K PA lze konzistentně přidat jak nerozhodnutelnou větu tak její negaci a obě tato rozšíření budou mít model. V jednom z nich je však pravdivá věta, která odporuje našemu chápání přirozených čísel, tzv. nestandardní model. Existence modelů PA, kde platí různé věty, je právě to, co z definice vyplývání znemožňuje její úplnost. Je ovšem myslitelné, že by nestandardní modely PA byly právě nějaké divné množiny, a že by stávající teorie množin, či jakákoliv teorie podobného typu, byla neadekvátní pro analýzu pojmu vyplývání. Kdyby se adekvaci modelové definice podařilo převést na konzistenci teorie množin, mohl by zastánce první interpretace dokonce tvrdit, že teorie množin je nekonzistentní.

II.kapitola

1.Interpretace

Hledáme relaci vyplývání, která nezávisí na významech predikátových symbolů jazyků prvního řádu. To jsme si již v části I.2 vyložili tak, abychom tuto relaci mohli uvažovat mezi neinterpretovanou teorií a větou, bez ohledu na jazyk, do kterého náleží. Takový výklad poměrně neurčitého požadavku nezávislosti na významu nyní zesílíme. Definujeme nejprve pojem formálního překladu. 

Formálním překladem z jazyka L1 do jazyka L2 budeme rozumět funkci f s následujícími vlastnostmi:
1) každé atomické formuli jazyka L1 funkce f přiřadí formuli jazyka L2 stejné četnosti tak, že atomickým formulím, které se liší pouze proměnnými, f přiřadí formule, které se liší pouze v týchž proměnných na odpovídajících místech
2) platí f(pq)=f(p)  f(q), kde za „“ dosazujeme binární spojky a pro negaci f( p)=  f(p)
3) platí f(x p)= x f(p) f(x p)= x f(p) pro všechny proměnné
Překladem věty p jazyka L1 do L2 vzhledem k formálnímu překladu f rozumíme f(p)
Překladem množiny vět A je množina f(A)=f(p); p  A

Formální překlad ve větě nahradí predikátový symbol jednoho jazyka formulí jiného jazyka při zachování struktury této věty. Nazýváme jej formálním, protože od překladu obvykle požadujeme navíc zachování nějakých sémantický vlastností vět, alespoň pravdivosti. Formální překlad je jakákoliv transformace řetězců znaků splňující uvedené požadavky. Můžeme jej považovat i za funkci z či do formulí jazyka teorie, který jsme zavedli jako pouhý seznam predikátových symbolů. Nezávislost na významu lze uchopit jako požadavek, aby relace vyplývání nezávisela na substitucích formulí za predikáty téže četnosti, tedy 

(2) f je formální překlad z jazyka teorie A p do libovolného jazyka.
Jestliže z množiny vět A vyplývá věta p, pak z f(A) vyplývá f(p)

Relace odvozování na místě vyplývání splňuje tuto podmínku. Kromě ní i nekonečně mnoho jiných vyhovuje požadavkům (1) a (2), které proto relaci vyplývání ani neurčují, ani příliš neomezují. 

Základním rysem vyplývání je, že nikdy nevede z pravdivých vět na nepravdivé. Jestliže z A vyplývá p, není možné, aby všechny věty A byly pravdivé a p nepravdivá. Tato nemožnost však není nemožností jako ve větě „Nějaký vdovec je ženatý“, či „Na stole je pět hrušek a o polovinu méně jablek“, ale je to nemožnost nezávislá na významu slov jiných než těch, které jsme pevně stanovili. Protože vyplývání uvažujeme mezi teorií a větou, u jejichž predikátů nepředpokládáme žádný význam, nelze mluvit ani o jejich pravdivosti. Neinterpretovaným slovům lze však nějaký význam přiřadit, a následně hovořit i o pravdivosti při tomto přiřazení. Můžeme pak říci, že vyplývá-li z A věta p, pak nelze dát predikátovým symbolům takový význam, aby věty A byly pravdivé a věta p nepravdivá. V tomto tvrzení bychom mohli nahradit implikaci ekvivalencí a zesílit je v definici vyplývání; nepříliš úspěšnou, protože nejméně toto „nelze“ by muselo být dále vysvětleno. Naopak je zeslabíme tím, že se zbavíme obtížné modality, a budeme toto tvrzení používat jako kriterium, které bude někdy rozhodovat, že z teorie A nevyplývá p. Jestliže při nějakém určení významů vlastních symbolů jsou všechny věty A pravdivé a věta p nepravdivá, pak z A nevyplývá p. Zavedeme-li místo „určování významu“ termín interpretace, vyjádříme tento požadavek takto

(3) Jestliže v nějaké interpretaci jsou všechny věty A pravdivé a věta p nepravdivá, pak z A nevyplývá p

Smysl (3) bude záviset na tom, co budeme chápat interpretací a následně pravdivostí v interpretaci. K této otázce se nyní obrátíme.

2. Reprezentační pojetí interpretace

Tímto způsobem používá výrazu „interpretace“ Alessandro Padoa v (Padoa, 1900). Rozlišuje nejprve „obecnou logiku“ a „partikulární deduktivní teorii“. Konkrétní deduktivní teorie obsahuje pojmy obecné logiky, které se považují za dané, zatímco o významech partikulárních pojmů se nepředpokládá nic. Pravidla vyplývání („pravidla dedukce“) náleží do obecné logiky a jsou společná jednotlivým teoriím. Padoa si klade mj. otázku, kdy je nějaká množina vět ireducibilní, tj. nevyplývá-li některá věta této množiny z ostatních. Jeho odpověď můžeme přesně parafrázovat pro otázku vyplývání

Abychom dokázali, že z množiny vět A nevyplývá věta p, je nutné a postačující najít interpretaci nedefinovaných symbolů, která činí pravdivými všechny věty A, ale nikoli větu p.

Interpretací teorie Padoa myslí „soustavu idejí“. Ideje jsou reprezentovány symboly. Fakty, což jsou relace mezi idejemi, jsou reprezentovány větami. Vztah „činění pravdivým“ nevysvětluje, ale zřejmě chápe v rámci korespondenční intuice, jako vztah mezi větami a mimojazykovými entitami. Vzhledem k protichůdnému vztahu reprezentace mezi nimi toto pojetí interpretace můžeme nazvat reprezentační. 
Všimněme si, že Padoa nenahrazuje implikaci v (3) ekvivalencí, protože v naší parafrázi nemluví o „nevyplývání“ a „existenci interpretace“, ale pouze o „důkazu nevyplývání“ a „nalezení interpretace“. Dostatečnost citované podmínky však Padoa zdůvodňuje v podstatě tvrzením (3). Teprve její nutnost vyjadřuje slovníkem „dokazování“ a „hledání“: k tomu, abychom popřeli, že p vyplývá z A, musíme najít interpretaci, která činí pravdivými věty A, ale nikoli p. To naznačuje, že (3) je jediným možným kriteriem nevyplývání. Kdybychom například vyplývání ztotožnili s odvozováním pomocí pevně stanovených pravidel, otázka nevyplývání by se třeba dala převést na nějaký číselný problém, který by měl řešení i bez hledání jakékoliv interpretace a uvedená podmínka by nebyla nutná. Padoa by mohl odpovědět, že úplnost těchto pravidel též musí být dokázána a to lze přesvědčivě udělat jen pomocí kriteria (3), neboť jediné, co může zpochybnit platnost vyplývání je protipříklad. Mohli bychom také analyzovat povahu entit, které Padoa nazývá idejemi, a vytvořit teorii těchto entit, která by nám umožnila dokázat existenci nějaké interpretace bez toho, aby byla nalezena. Ale i pro správnost této teorie lze vyžadovat důkaz. 

Obdivuhodně propracovanou analýzu vyplývání podává Bernard Bolzano ve svém Vědosloví (Bolzano ). Klíčovým pojmem jeho „pokusu o zevrubný a převážně nový výklad logiky“ je věta o sobě. Pravdivé věty o sobě nazývá pravdami o sobě. Věty o sobě jsou strukturně velmi podobné větám známých jazyků, ale Bolzano je odlišuje jak od psaných, tak i myšlených vět. Některé nuance běžných jazyků, jako pády, větám o sobě schází, jsou v subjekt-predikátovém tvaru, ale tento subjekt obecně neodpovídá gramatickému (podmětem věty o sobě, vyjádřené větou „Filip je otcem Alexandra“ je dvojice představ Filipa a Alexandra). Na druhou stranu však Bolzano často z toho, jak mluvíme a myslíme, usuzuje na povahu vět o sobě. Jako se věty skládají ze slov, tak se věty o sobě skládají z představ o sobě. Věta o sobě „Alexandr má zdatnost“ se skládá z představ „Alexandr“, „zdatnost“, ale i představy odpovídající kopuli „má“. Pro analýzu vyplývání je podstatné, že jako u vět a slov, lze u vět o sobě hovořit o nahrazení jedné představy jinou. Vyplývání chápe Bolzano jako ternární relaci mezi soubory vět o sobě vzhledem k představám, které považujeme za proměnné.

Věty M,N,O… jsou odvoditelné z A,B,C,D… vzhledem k proměnlivým částem i,j,k,l…jestliže každý soubor představ, který činí na místě představ i,j,k,l…všechny věty A,B,C,D… pravdivými, činí pravdivými i všechny věty M,N,O…(§155) 

Vztah činění pravdivým lze explikovat tak, že výsledek dosazení prvků souboru představ na místa proměnlivých částí jsou pravdy o sobě. Logické vyplývání je instancí této relace, když za proměnné považujeme všechny představy kromě logických (sám Bolzano však vyjadřuje pochybnost ohledně ostrosti tohoto rozlišení). V našem případě, kdy se zabýváme vyplýváním pro predikátovou logiku prvního řádu, bychom za proměnné považovali všechny představy kromě představy „má“, která je součástí každé predikace, představ odpovídajících spojkám a kvantifikátorům.
Interpretaci bychom mohli v Bolzanových intencích definovat jako relaci mezi větami o sobě, nahrazení některých představ jinými. Alternativě, protože hledáme vztah vyplývání mezi větami, bychom ji mohli redefinovat jako relaci mezi větami a větami o sobě tak, že bychom od vět nejprve přešli k větám o sobě, které vyjadřují, a pak aplikovali interpretaci v původním smyslu. Za této definice Bolzano zesiluje implikaci v 3) v ekvivalenci a dostává tak definici vyplývání.

Abychom ocenili roli přívlastku „o sobě“ v Bolzanově konstrukci, porovnejme ji s analogickou formulací, která na místě vět o sobě používá vět nějakého konkrétního jazyka. Formální překlad, definovaný v II.1pro věty, je přesným protějškem Bolzanova nahrazování některých představ jinými ve větách o sobě. Mohli bychom definovat 
z A vyplývá p iff pro každý formální překlad f z jazyka teorie Ap do jazyka L,
jestliže všechny věty f(A) jsou pravdivé v L, pak i f(p) je pravdivá v L
Toto L by buď mohlo být zvoleno zcela pevně, a nebo by to byl ten jazyk, jehož jsou p a prvky A větami. (V tom případě by však relace vyplývání závisela na tom, jakého jazyka jsou p a prvky A větami, ve sporu s předpoklady přijatými v I.2 a II.1; následující selhání lze chápat jako jisté potvrzení těchto předpokladů.) Alespoň pro věty L platí, že z pravdivých vět plynou zase pravdivé věty. Pokud by však byl jazyk L příliš chudý, tato definice by vedla k neintuitivním závěrům. Mějme jazyk, který obsahuje jediný predikát „s(x)“ a navíc „(x)s(x)“ je pravdivá v L. Pak lze z uvedené definice dokázat, že z každé věty tvaru „(x)(x)“ plyne věta „(x)(x)“. Protipříklad lze nalézt dosazením za „“ predikátu jiného jazyka než L, např. „x je prezident“, neboť pak je první věta pravdivá a druhá nepravdivá. Nepřijatelnost této definice spočívá v tom, že odráží výrazovou omezenost jazyka L. Bolzanova koncepce však netrpí omezeními konkrétních jazyků: existují představy o sobě, pro které nemáme žádné slovo (§49), a tedy pravdy o sobě, které nejen neznáme, ale ani nedokážeme vyjádřit. Doména vět, pravd a představ o sobě není omezena ani nějakým lidským jazykem ani lidským myšlením. 

3. Interpretace jako překlad

Padoa chápe interpretaci jako relaci mezi symboly a mimojazykovými entitami. Význam by zřejmě vysvětlil pomocí relace reprezentace mezi nimi a jazykem. Interpretace teorie je potom libovolné přiřazení významů predikátům teorie. Tyto hypotetické entity můžeme nazvat „pojmy“. Označení volíme dostatečně neurčitě, ačkoli bychom je mohli chápat v kontextu Fregovy filozofie, nebo mluvit o Russellových „výrokových funkcích“, „univerzáliích“ nebo, „idejích“ či „představách o sobě“. Měli bychom si nyní položit otázku, jakého druhu pojmy jsou a existují-li vůbec. Zejména abychom se vyhnuli této debatě, zvolíme zde formulaci interpretace, která se obejde bez reprezentační nomenklatury. Interpretací množiny vět A zde budeme rozumět formální překlad z jazyka teorie A do jazyka L. Pravdivá věta v interpretaci bude ta, jejíž interpretací je věta pravdivá v L. Takový formální překlad, jehož výsledkem jsou pravdivé věty, nazveme prostě překladem věty či teorie.
(3) pak můžeme zapsat jako

(4) jestliže pro nějaký jazyk L existuje formální překlad f jazyka teorie Ap do jazyka L takový, že všechny
věty f(A) jsou pravdivé v L a f(p) je nepravdivá v L, pak z A nevyplývá p

Tato formulace obsahuje zde neanalyzované výrazy „jazyk“ a „pravda v jazyce“. (4) však budeme používat pouze jako kriterium, když za „L“ budeme dosazovat jméno konkrétního jazyka. V tom případě není třeba definovat, co je jazyk a pravda v jazyce, ale pouze rozhodnout, zda toto je jazyk, a definovat pravdivost v tomto jazyce. Predikát „pravda-v-J“ pro J pevné lze analyzovat způsobem, který navrhl Tarský a z hlavy na nohy postavil Davidson. Výhoda Tarského teorie pravdy je, že nás nezavazuje k přijetí ani odmítnutí nějakých tezí ohledně vztahu jazyka a světa. Stejnou výhodu má i překladová koncepce interpretace oproti reprezentační, a přitom kriterium (3) bude mít ve většině aplikací stejnou sílu v překladovém jako reprezentačním pojetí. Ať už jsou totiž pojmy jakékoliv entity, intenzionální či extenzionální, ideální či mentální, pravděpodobně k nim ve většině případů budeme odkazovat právě jako k tomu, co je reprezentováno konkrétním jazykovým výrazem. Např. reprezentační důkaz, že z „xyR(x,y)“ neplyne „yxR(x,y)“ by mohl proběhnout takto: „interpretujme „R(x,y)“ jako pojem, který je reprezentován znakem „x  y“ v aritmetice. Tato interpretace činí první větu pravdivou a druhou nepravdivou, a tedy druhá z první nevyplývá.“ V překladovém pojetí řekneme prostě: „interpretujme „R(x,y)“ jako „x  y“. První věta je potom v aritmetice pravdivá a druhá nepravdivá, a tedy druhá z první nevyplývá.“ Reprezentační důkaz je v tomto případě pouze složitější variantou překladového. Nejprve potřebujeme relaci reprezentace, která nás z jazyka přenese k pojmům, a potom vztah činění pravdivým, který nás vrátí zpět k pravdivosti vět. Zde je výhodnější tento dvojkrok vypustit a mluvit přímo o pravdivosti vět. Možnost, že by pravda, či dokonce pravda v aritmetice, nakonec byla analyzována v reprezentačních intencích, přitom nevylučujeme. Odlišnou situaci dostaneme, máme-li k dispozici teorii pojmů, která umožňuje odkazovat k pojmům jinak, než jako k reprezentovanému konkrétními jazykovými výrazy. Mohli bychom dokonce dokázat existenci pojmů, které nejsou reprezentovány žádným známým jazykem. Především v nezávislosti na výrazových prostředcích konkrétních jazyků spočívá síla a kouzlo reprezentačního pojetí, jak jsme viděli v závěru II.2. 

Mohli bychom se pokusit přeměnit (4) v explicitní definici vyplývání. Tak bychom mohli říci
z A vyplývá p iff  ( jazyk L)( formální překlad f do L)
jestliže všechny věty f(A) jsou pravdivé v L, pak f(p) je pravdivá v L 
V tom případě bychom „vyplývání“ definovali pomocí „jazyka“ a „pravdy v jazyce“. Otázce po explikaci těchto termínů bychom se již nemohli vyhnout, a zběžná úvaha naznačuje, že je tento pokus o definici neúspěšný. Kdybychom v ní „jazykem“ mysleli aktuálně existující jazyky, byla by tato definice závislá na omezeních existujících jazyků. Mohla by sice adekvátně vymezovat extenzi vyplývání, ale to by si vyžádalo hlubšího vysvětlení. Nebo bychom jazykem mohli rozumět abstraktní entitu, možný jazyk, či prostě říci
z A vyplývá p iff není možné ( jazyk L)( formální překlad f do L)
jestliže všechny věty f(A) jsou pravdivé v L, pak f(p) je pravdivá v L 
V tom případě bychom museli vysvětlit tuto „nemožnost“ či „možný jazyk“, a to bez použití termínu konzistence.
Zajímavějším pokusem v tomto směru je předpoklad univerzálního jazyka. Mohli bychom zvolit pevně nějaký jazyk U a říci 
z A vyplývá p iff (formální překlady f do U) jestliže všechny věty f(A) jsou pravdivé v U,
pak f(p) je pravdivá v U
Tak bychom definovali vyplývání pomocí pravdy v U a otázku, jestli z A nevyplývá p, bychom převedli na otázku, které věty jsou v U pravdivé. Tento jazyk by nesměl trpět omezeními jako jazyk L z konce předchozí podkapitoly. Pro takový jazyk by muselo platit, že každá konzistentní teorie je do něj přeložitelná. Kdyby totiž neměla překlad, platila by pravá strana definice triviálně pro každou větu p, a tedy i pro spornou větu. Proto jazyk U nazýváme univerzálním jazykem. Abychom tímto způsobem dostali definici vyplývání, museli bychom takový jazyk najít. První problém s tímto postupem je, že i kdyby takový jazyk existoval, např. jazyk teorie množin, stáli bychom před problémem rozhodnout, že je univerzálním jazykem. Kdybychom totiž řekli „konzistentní je právě to, co lze přeložit do tohoto jazyka“, byli bychom ve zcela analogické situaci, jako kdybychom řekli „konzistentní je právě to, co aplikací těchto … pravidel nevede ke sporu“- jako vyvstává otázka, jestli jsou pravidla odvozování úplná, museli bychom se ptát, jestli jazyk U není příliš chudý. Navrhujeme totiž analytickou definici relace vyplývání, a je na místě otázka adekvace takové definice. Tíha této otázka se zde však pouze přesunula na problém, je-li jazyk teorie množin univerzálním jazykem, aniž by nás takový přesun přiblížil odpovědi. Úvahy kolem paradoxu lháře navíc ukazují, že za velmi přijatelných předpokladů univerzální jazyk existovat nemůže.Kvůli jednoduchosti se omezíme na případ, kdy má hypotetický univerzální jazyk konečně (či spočetně) predikátových symbolů. Pojem jazyka s nekonečným slovníkem navíc vzbuzuje jistou nedůvěru. Je-li aritmetika konzistentní, čímž se budeme zabývat v I.4, musela by mít překlad do jazyka U. Bylo by možné očíslovat věty jazyka U přirozenými čísly. K aritmetice bychom mohli přidat predikát „pravdivá-v-U“, který by platil právě a pouze o číslech, které kódují věty pravdivé v U, a splňoval známé T-schéma. Předpokládáme nyní, že toto velmi intuitivní rozšíření je opět konzistentní, a má tedy překlad do U. V U bychom potom mohli známým způsobem zrekonstruovat paradox lháře, tj. ukázalo by se, že množina pravdivých vět U není konzistentní. Některé premisy tohoto argumentu lze snad popřít, ale je jasné, do jakých obtíží by nás zavedla hypotéza univerzálního jazyka, neboť ten by byl sémanticky uzavřený. Možná bychom je teoreticky vyřešili, ale je otázka, jestli bychom při tom nemuseli obětovat například to, že U může být užívaným jazykem. Tím by však tato definice neměla žádnou výhodu oproti nějaké reprezentační definici. V Bolzanově případě bychom mohli definovat „jazyk o sobě“ jako celek vět o sobě. Ten by byl univerzálním jazykem, ale pouze jazykem Božím. 

Pro zajímavost naznačíme pojetí interpretace, které lze extrahovat z prací Davida Hilberta (Hilbert,1900,1918). Ten, když hledá interpretaci teorie geometrie v reálných číslech, dokazuje tak pouze relativní konzistenci geometrie za předpokladu konzistence teorie reálných čísel. Interpretace je formální překlad z jednoho jazyka do druhého, který zachovává pravdivost. V tom se toto pojetí neliší od naší definice, jiné je však chápání pravdivosti. Význam termínů nějaké matematické teorie je podle Hilberta definován několika axiomy této teorie. Pravdivé věty daného jazyka můžeme v Hilbertových intencích definovat jako ty, které vyplývají z těchto axiomů. Existence interpretace teorie T1 v konzistentní teorii T2 zaručuje konzistenci T1 jen díky podmínce (2). (Standardní pravidla odvozování tuto podmínku splňují a nalezení interpretace v tomto smyslu je tedy důkazem relativní syntaktické konzistence). Entity, definované nekonzistentními axiomy, neexistují, a naopak, jediným kriteriem matematické existence je konzistence. Aby mohlo (3) platit i hilbertovsky, musí jít pouze o interpretace v konzistentních teoriích. Je zajímavé zjištění, že takto modifikovaná (3) s uvedeným chápáním „interpretace“ a „pravdivosti v interpretaci“ je ekvivalentní podmínce (2) (za předpokladu tranzitivity vyplývání). Podmínka (3) neurčuje pojem vyplývání o nic blíže než podmínka (2) a bylo by zapotřebí nezávislého vymezení vyplývání. 

4. Interpretace v teorii množin

Nejprve několik poznámek k teorii množin: jazyk teorie množin ve Fraenkel-Zermelově formulaci (ZF) je jazyk prvního řádu, který obsahuje dva binární predikáty „“ a „=“. V tomto jazyce formulujeme řadu axiomů. Všechny věty, které jsou z nich odvoditelné, považujeme za pravdivé věty teorie množin. Ačkoli jsou tyto axiomy natolik bohaté (zahrneme-li mezi ně i axiom výběru), že umožňují reprodukovat důkazy téměř celé klasické matematiky, nelze ztotožnit pravdivost v teorii množin s odvoditelností z těchto axiomů. Aplikací Godelovy věty o neúplnosti dostaneme, že např. věta vyjadřující syntaktickou konzistenci těchto axiomů není z nich odvoditelná. Upřít pravdivost této větě by buďto vyžadovalo popření konzistence ZF a nebo tvrzení, že věty této teorie znamenají něco jiného, než předpokládáme, a tato nerozhodnutelná věta ve skutečnosti konzistenci těchto axiomů nevyjadřuje. V obou případech dostáváme zrušení teorie množin. Předpokládáme, že pravdivost vět teorie množin do jisté míry souhlasí s našimi intuicemi. Paradoxy v naivní teorii množin vyvracejí jejich naprostou spolehlivost a široké užívání ZF zas ukazuje, že matematické intuice mohou být vzdělávány. Přijímáme-li teorii množin, nemáme jinou možnost než chápat přirozená čísla jako konečné ordinály. Předpokládáme, že věty o konečných ordinálech mají tutéž pravdivostní hodnotu jako odpovídající věty o předmnožinových číslech. To zjevně nemůžeme dokázat, ale lze si představit negativní test této hypotézy: kdyby se z axiomů ZF podařilo odvodit větu o konečných ordinálech v jasném sporu s naším pojetím přirozených čísel. Když v ZF definujeme, čistě v -jazyce „z A je odvoditelná p iff p dostaneme z A konečně mnoha aplikacemi těchto … pravidel“, předpokládáme, že toto „konečně mnoha“ odpovídá běžnému užití „konečného“ prostřednictvím přirozených čísel.
Potřebujeme navíc hovořit o objektech této teorie, množinách a jejich celku, množinovém universu. Je obtížné, ne-li nemožné, užívat výrazy „množina“, „“, aniž bychom nepředpokládali existenci nějakých objektů teorie množin. Větu „existuje množina, která splňuje (x)“, kde „(x)“ je formule ZF, bychom mohli chápat pouze jako tvrzení o ZF, tj. „ x (x) je pravdivá v ZF“, tedy jako vyjadřující nějakou sémantickou charakteristiku jazyka ZF a nikoli jako tvrdící existenci nějakého abstraktního objektu. Ale můžeme říci „existuje množina, která není definovatelná v ZF“. Predikát „být množina definovatelná v ZF“ není definovatelný v ZF a „existenci“ zde nemůžeme převést na „pravdivost v ZF“. Analogicky nelze „existenci“ množin převést na „pravdivost“ žádného jazyka, leda snad universálního, kdyby existoval. Jestli je možné se zbavit množinové existence jiným způsobem, nebudeme rozebírat. Namísto toho budeme hovořit o množinách intuitivně jako o objektech a taktéž o množinovém universu. Je otázka, jak bohaté je toto universum. Jestli např. za jeho prvek považujeme množinu všech koní nebo množinu řeckých bohů, jestli do něj spadají hmotné věci a imaginární či možné objekty. Axiomy ZF tuto otázku nechávají nerozhodnutu. Kdybychom k nim však přidali např. Godelův axiom konstruovatelnosti, tyto množiny by byly vyloučeny. Vyjdeme-li z prázdné množiny , aplikací přesně vymezených operací dostaneme další množiny jako {}, {{}}, na ně opět aplikujeme tyto operace, dostaneme další množiny atd. Axiom konstruovatelnosti říká, že každou množinu lze dostat obecně transfinitním iterováním těchto pravidel. V tomto procesu nikdy nedostaneme ani koně, ani řeckého boha. Vzhledem k popisu vyplývání však zahrnutí nebo vyloučení těchto množin není podstatné, s tou výhradou, že teorie, o které nám jde, jsou prvky tohoto universa. Jinak by totiž relace interpretace byla vztahem mezi množinou, tj. modelem teorie, a prvkem vně universa, teorií, a nebyla by tedy uchopena množinovým aparátem.

Interpretaci definujeme následovně
Strukturou rozumíme uspořádanou (k1)-tici množin V, S1,…Sk, kde V je neprázdná 
a pro i=1…k je SiVni , kde ni je nezáporné přirozené 
(Si je buď podmnožina V, nebo množina ni –tic prvků z V)
V můžeme nazvat doménou interpretace a ni četností Si.
Teorii můžeme chápat jako jistou množinu řetězců, vytvořených podle daných pravidel ze slovníku jazyka teorie. 
Interpretaci teorie na struktuře definujeme jako přiřazení predikátům teorie množiny Si této struktury odpovídající četnosti. s
Definujeme splňování věty při interpretaci a konečně pravdivost při interpretaci.
Strukturu, na níž jsou při dané interpretaci všechny věty teorie pravdivé, nazveme modelem.
Konečně vyplývání definujeme jako

(5) z teorie A vyplývá věta p iff pro každou interpretaci, jsou-li při ní pravdivé věty A, pak je při ní pravdivá i p 

Zásadním výsledkem, jak bylo zmíněno v I.3, je Godelova věta o úplnosti, podle níž tato definice splývá s definicí odvoditelnosti pomocí standardních pravidel (tím je mimochodem splněn požadavek (1)).
Existence modelu neznamená existenci překladu do jazyka teorie množin. Definujme „množina x je definovatelná v ZF iff existuje formule jazyka ZF s jedinou volnou proměnnou taková, že ji splňuje pouze x“. Existují však množiny, které nejsou definovatelné v ZF. Z existence modelu lze přímo dostat existenci překladu, jen pokud je tento model definovatelný (až na modelový izomorfismus). I definovatelná teorie T však může mít nedefinovatelný model: může mít řadu vzájemně neizomorfních modelů a deskripce „model teorie T“ nedefinuje žádný konkrétní model. Naopak, z existence překladu nějaké teorie do jazyka teorie množin plyne existence jejího modelu. Může však být velmi snadné najít překlad a velmi nesnadné, nebo dokonce nemožné, najít model této teorie. Kritérium (3), s modelovým pojetím interpretace, je tedy silnější než překladové kriterium zformulované pro jazyk ZF. Ve většině případů pochopitelně pracujeme s definovatelnými modely a v souladu s tím, co bylo řečeno v II.3,§3 o typické nadbytečnosti reprezentačních pojmů pak překladové a modelové kritérium splývají. Teorie množin neaspiruje na to být universálním jazykem, definice (5) neklade rovnost mezi konzistenci a existenci překladu, ale pouze mezi konzistenci a existenci modelu. Teorie množin slouží jako základní teorie matematiky a veškeré klasické matematické pojmy aritmetiky, analýzy i geometrie jsou v ní explicitně definovatelné. Jsou-li tyto definice adekvátní, jak se předpokládá, dávají jednoduchý typ překladu do teorie množin. Přeložitelnost každé konzistentní teorie však není vyžadována. 

Přijatelnost definice (5) může být odvozována z intuitivního předpokladu úzkého vztahu mezi tím, co jsme v II.3 nazvali pojmy, a množinami, z chápání množin jako extenzí pojmů. Existenci nedefinovatelných množin pak bude chápána jako existence pojmů, nevyjádřitelných v daném jazyce, zatímco možnost jednoznačného rozšiřování jazyka jako lidská schopnost poznávat nové a nové pojmy a vyjadřovat je slovy.
Peano, abychom vybrali jeden příklad z mnoha, nerozlišuje mezi chápáním „“ v „a  b“ jako znaku náležení, spojující prvek a množinu, a chápáním „“ jako kopule  a „b“ jako vlastnosti (Peano, 1898).
Russell a Whitehead to v Principia Mathematica (I.C.20) formulují explicitně 

A class (which is the same as manifold or aggregate) is all the objects satisfying some propositional function. If  is the class composed of the objects satisfying x, we shall say that  is the class determined by x. Every propositional function thus determines a class (ale jedna třída má více určujících výrokových funkcí)

Výroková funkce u Russella není jazykový objekt, ale podobně jako u Fregeho, jazykovým výrazem může být nanejvýše označována. Úzká souvislost mezi množinami a výrokovými funkcemi, což jsou logické objekty, umožňuje v teorii typů řešit zároveň logické paradoxy a paradoxy teorie množin a chápat matematiku jako součást logiky. Na Principia Mathematica se odvolává Godel při důkazu věty o úplnosti predikátové logiky prvního řádu (Godel, 1929).
Georg Cantor v poznámce k jeho Grundlagen přirovnává svůj pojem množiny k Platónovu eidos, michton a idea. 
Bolzano sice ve Vědosloví (§84) a Paradoxech nekonečna (§3) hovoří o množině jako o libovolném souboru. Ale každá množina je rozsahem podmětu nějaké věty o sobě, a tedy i rozsahem nějaké představy o sobě. Rozsahem představy myslí Bolzano množinu předmětů, na které se daná představa vztahuje. V tomto pojetí je pro logiku prvního řádu Bolzanova definice vyplývání ekvivalentní množinové definici. Z hlediska pravdivosti nezáleží, řekneme-li „x má A“ a nebo „x náleží do rozsahu představy A“, a je jedno chápeme-li interpretaci jako vztah k představám a nebo množinám, jejich rozsahům.
A priori však nelze vyloučit, že by množinové universum mělo z hlediska analýzy vyplývání alespoň jeden z těchto nedostatků: bylo příliš chudé, takže některá konzistentní teorie v něm nemá model, nebo příliš bohaté, takže některá teorie, která má model, není konzistentní. První alternativa je znemožněna předpokladem (1) a větou o úplnosti. Teorie, která nemá model, je syntakticky nekonzistentní, a tedy nekonzistentní. Druhá možnost je naznačena rozštěpením mezi pravdivostí vět ZF a odvoditelností z axiomů ZF. Je možné, že by např. věta vyjadřující konzistenci axiomů ZF v ZF , ač neodvoditelná z těchto axiomů, z nich vyplývala. Vzhledem k nerovnosti mezi existencí překladu do ZF a existencí modelu, by tento defekt nemusel být podmíněn nekonzistencí ZF. 

5. Rozhodující kritérium

V I.3 jsme předpokládali, že pokud je z A odvoditelná p, pak z A vyplývá p, a vznikla otázka, platí-li konverze tohoto tvrzení „jestliže z A vyplývá p, pak z A je odvoditelná p“, alternativně 

(6)? jestliže z A není odvoditelná p, pak z A nevyplývá p 

O tom nás může přesvědčit množinová definice vyplývání, která svou zřejmost bere z těch či oněch představ o povaze množin. Vzhledem k vyjadřovací síle teorie množin lze v mnoha případech platnost (6) získat pouze z překladového kriteria (4) a předpokladu, že teorie množin je jazyk, který v tomto kriteriu může vystupovat, bez ohledu na to, co znamenají predikáty tohoto jazyka. Není-li z A odvoditelná p, je teorie A{p}syntakticky konzistentní. Jestliže má překlad do teorie množin, pak podle (4) p z A nevyplývá. Vzhledem k síle ZF to nastane v mnoha případech, nikoli však ve všech- teorie množin není univerzálním jazykem. Zesílení bychom mohli dostat, kdybychom povolili jistá rozšiřování teorie množin. Mohli bychom říci, že pokud je věta „x (x)“ pravdivá v ZF, pak slovník ZF můžeme obohatit o novou konstantu „c“ tak, že v tomto rozšířeném jazyce bude pravdivá věta „(c)“ . V tomto jazyce by obecně neplatila bivalence, protože o c lze tvrdit jen to, co vyplývá z pravdivých vět ZF a věty, kterou bylo „c“ zavedeno. Je-li konzistentní teorie T definovatelná v ZF, pak věta „x x je modelem T“ je pravdivá věta v ZF (poznamenejme, že pojem definovatelné teorie již předpokládá chápání některých množin jako znaků a vět). Zavedeme-li konstantu „c“ tak, že v rozšířeném jazyce platí „c je modelem T“, bude mít T triviálně překlad do toho jazyka (některé věty jazyka teorie T, které nepatří do T, však nemusejí být v tomto překladu ani pravdivé ani nepravdivé), a tak bychom dostali platnost (6) pro všechny definovatelné teorie v ZF, konkrétně pro konečné teorie, Peanovu aritmetiku a samotné axiomy ZF. 
Součástí předpokladu, že ZF s takovými a takovými pravdivými větami je jazyk, je konzistence axiomů ZF, a tedy i jejich syntaktická konzistence. Kdyby chtěl někdo popírat konzistenci teorií přeložitelných do ZF, mohl by popřít konzistenci axiomů ZF a buď tvrdit, že některé z nich nejsou pravdivé, nebo tvrdit, že ZF vůbec není smysluplný jazyk. K tomu by nemusel popírat syntaktickou konzistenci axiomů. Vždyť jádrem námitky, formulované v I.3 bylo, že existují syntakticky konzistentní a přitom nekonzistentní teorie.

Obraťme pozornost ke kriteriu (4) s použitím jiného jazyka, jazyka aritmetiky. Jazyk aritmetiky obsahuje binární funkční symboly „+“ a „ .“ pro sčítání a násobení, unární funkční symbol „S“, který chápeme jako funkci, která číslu přiřadí číslo bezprostředně větší, konstantu „0“ pro nulu a binární predikát „=“ chápaný jako rovnost. (Podle I.2 uvažujeme jazyky prvního řádu bez funkčních symbolů, které zde ale můžeme naradit predikátovými.) V tomto jazyce prvního řádu formulujeme známou množinu axiomů, ke kterým budeme nadále odkazovat jako k „Peanově aritmetice“, „PA“ (původní Peanova formulace však postihovala indukci axiomem druhého řádu, který nahrazujeme axiomovým schématem). Všechny věty odvoditelné z těchto axiomů považujeme za pravdivé, ale ne všechny pravdivé věty aritmetiky jsou odvoditelné z PA. Předpokládáme-li, že aritmetika je jazyk, předpokládáme, že množina pravdivých vět aritmetiky je konzistentní. A tedy, že i PA je konzistentní a následně i syntakticky konzistentní. Připouštíme, že by se poslední předpoklad mohl ukázat nepravdivým, ale spolu s matematickou obcí věříme, že k tomu nedojde. Důsledky, které by takové zjištění mělo pro tuto esej, by nebyly ničím ve srovnání s krizí, kterou by to způsobilo v matematice. Za tohoto předpokladu však neexistuje důvod, proč nepovažovat PA za konzistentní: aritmetika je natolik intuitivní a tak hluboce položena v základech matematiky, že sama může tvořit paradigma konzistence. Lze dokonce spekulovat, že odhalení sporu v PA by vedlo k reformě standardních pravidel odvozování spíš, než k zavržení PA. 
Známým způsobem můžeme čísly kódovat řetězce znaků a popsat v aritmetice syntax některých jazyků. Lze navíc tvrdit, že aritmetika je nejjednodušším jazykem, který popisuje syntax nějakého jazyka. Nějaký jazyk S(L), popisující syntax jazyka L musí obsahovat jména všech primitivních symbolů L (v S(L) jako konstanty nebo konstantní termy). Dále obsahuje predikát „=“ pro rovnost znakových řetězců a jediný binární funkční symbol „“ pro spojování těchto řetězců (xy je řetězec, který vznikne přiložením řetězce y na konec x). V S(L) jasným způsobem definujeme x je podřetězcem y. Znak je řetězec, jehož jediným podřetězcem je on sám. Obsahuje-li L alespoň dva znaky, které v S(L) značíme jako „“ „“, lze v S(L) definovat aritmetické operace „S“, „+“ a „ .“. V S(L) definujeme „x je číslo iff každý znak, který je podřetězcem x, je roven “, tj. číslo je řetězec složený pouze z . Pro x,y je číslo definujeme sčítání jako xy, S(x) jako x. Explicitní definice násobení vyžaduje složitější přístup. Musíme použít znak „“ a axiomového schématu v S(L), které odpovídá schématu indukce pro čísla, a vyjadřuje požadavek konečnosti znakových řetězců. Adekvací těchto definic myslíme pouze totožnost pravdivostních hodnot vět formulovaných z takto definovaných symbolů v S(L) a odpovídajících vět aritmetiky. Že jsou adekvátní, je zřejmé z chápání S(L) jako jazyka popisujícího řetězce znaků. Specificky, zformulujeme-li v tomto jazyce teorii odpovídající této intuici, budou za těchto definic odvoditelné axiomy PA (navíc je tato teorie relativně konzistentní k PA). Vidíme zde, že popřít konzistenci PA by znamenalo popření našich představ o znacích a větách, které jsme používali od počátku této práce. 

Godel dokázal úplnost predikátové logiky prvního řádu pro konečné a spočetné teorie. Dokázal, že každá konečná či spočetná konzistentní teorie má model, a to navíc model, jehož doménou je množina přirozených čísel. Lze ukázat, že pro jisté teorie bude model, který Godel v důkazu konstruuje, definovatelný v aritmetice a dostaneme tak existenci překladu do aritmetiky. Tedy

(7) T je konečná teorie. Pak T je syntakticky konzistentní iff T má překlad do aritmetiky

Aplikací (7) dostáváme hned platnost (6) pro konečné teorie. Je-li z konečné A neodvoditelná p, pak A{p} je konzistentní a konečná teorie, a tedy má překlad do aritmetiky. V tomto překladu jsou věty A pravdivé a p nepravdivá, a tedy podle (4) p nevyplývá z A. 
V tomto tvrzení je jedinou relevantní sémantickou vlastností jazyka aritmetiky pravdivost. Mějme teorii T jazyka L. Abychom mohli zobecnit výsledek (7) i na nekonečné teorie, musíme hovořit o definovatelnost T v S(L), a tedy chápat konstanty S(L) jako označující konstanty L, „=“ a „“ jako relaci a funkci na těchto znacích. Jazyk aritmetiky lze chápat jako jazyk popisující syntax nějakého jazyka, číslice označují řetězce znaků, operaci „“ lze zavést známým způsobem. V tom případě můžeme mluvit i o teoriích definovatelných v aritmetice. Pak dostáváme 

(8) T je teorie konečného jazyka prvního řádu L, T je definovatelná v S(L)
Pak jestliže je T syntakticky konzistentní, je i přeložitelná do jazyka S(L)

Chápeme-li zde S(L) jako aritmetiku, lze (8) aplikovat na většinu spočetných teorií prvního řádu, které se kdy v matematice vyskytly, konkrétně na PA a axiomy ZF. Můžeme vyvrátit pochybnost ohledně interpretace Godelovy věty o neúplnosti. V I.3 jsme uvažovali možnost, že intuitivně pravdivá věta, která není odvoditelná z PA z ní vyplývá, a standardní pravidla odvozování jsou tedy neúplná. Teorie PA je v aritmetice definovatelná. Je-li p syntakticky nerozhodnutelná věta, pak jak teorie PA{p} tak i teorie PA{p} jsou definovatelné v aritmetice a konzistentní, a mají tedy překlad do aritmetiky, a jsou tedy obě konzistentní. Druhá interpretace Godelovy věty z I.3, která připisuje neúplnost PA neúplnosti standardních pravidel, je tedy v tomto případě neudržitelná. Je pravda, že Godelova věta dává jakýsi důkaz této věty p (říká: p je nedokazatelná, ale pravdivá, a tedy ji jaksi dokazuje), což je pravděpodobně důvod, proč se tato interpretace zdá správná. Není to ale logický důkaz, neboť jeho platnost závisí na významech aritmetických pojmů a jeho přesvědčivost na jejich pochopení. Kdyby tento důkaz byl logický, pak teorie PA{p} by obsahovala logický spor, a tedy by jej obsahoval i překlad této teorie, což je podle (8) podmnožina pravdivých vět aritmetiky. Problém zmizí, je-li tento spor na úrovni významů matematických pojmů, neboť význam se nemusí zachovávat při překladu, jak byl definován v II.1.
Připomeňme, že překladem teorie je jistá funkce, jejíž aplikace na T dá pravdivé věty, o nějakých významech nepředpokládáme nic. Silnější pojetí překladu by v (8) mohlo vést k následujícímu paradoxu: množina axiomů ZF je definovatelná v aritmetice a, je-li konzistentní, má překlad do aritmetiky. V teorii ZF lze však definovat „x je pravdivá věta aritmetiky“, a díky překladu přejde tato definice v definici v aritmetice. Pravdivost v aritmetice by tak byla definovatelná v aritmetice, což by vedlo k paradoxu lháře. Při překladu axiomů ZF však budou v aritmetice pravdivé axiomy ZF, ale mnoho jiných vět intuitivně pravdivých v teorii množin, které nevyplývají z těchto axiomů, již při tomto překladu pravdivé nebudou. Množinová definice „x je pravdivá v aritmetice“ je přijatelná vzhledem k intuitivnímu chápání znaků teorie množin. Překlad však nezachová ani tyto intuice, ani z nich odvozovanou pravdivost, a přeložený predikát nevyjadřuje pravdivost v aritmetice ani extenzionálně. Paradox by vznikl, kdyby nejen axiomy ZF, ale množina vůbec všech pravdivých vět ZF byla definovatelná v aritmetice; to však není možné.

Abychom výsledek (8) zobecnili na všechny teorie konečných jazyků, musíme předpokládat, že každá teorie T může být definována v nějakém jazyce prvního řádu. Tento předpoklad se zdá poměrně přijatelný. Jednak lze tvrdit, že cokoli existuje, může být definováno v nějakém jazyce. Pojem vyplývání je navíc úzce spjat s lidskými činnostmi. Relace vyplývání, jak je užívána v důkazech, vychází vždy z definovaných premis. Jaký by mělo smysl říkat „z nějaké teorie vyplývá p“? Případný defekt standardních pravidel vyplývání pro nedefinovatelné teorie by byl čistě teoretickou záležitostí. Pokud každá teorie může být definována v nějakém jazyce, není vidět důvod, proč by nemohla být definována v nějakém jazyce prvního řádu. Předpokládejme, že existuje syntakticky konzistentní, ale nekonzistentní teorie T. Pak T může být definována v nějakém jazyce S(L). Potom podle (8) T může být přeložena do S(L) ((8) je dokázáno a platí tedy nutně). Ale není možné, aby nekonzistentní teorie měla překlad do nějakého jazyka, neboť i ten by byl nekonzistentní (předpokládáme nutnost požadavku (2) z II.1),a dostáváme spor s konzistencí a nekonzistencí T.
Jazyk S(L) figuruje v (8) dvojím způsobem, jednak jako jazyk, který popisuje L a definuje T, a jednak jako jazyk, do něhož T překládáme, a nezajímá nás nic než pravdivost jeho vět. Obecně definovatelnost T neimplikuje přeložitelnost- snadno definujeme nekonzistentní teorie. Užití S(L) v (8) je podmínečné: jestliže existuje takové T, pak toto T může být popsáno v nějakém jazyce S(L), a tento jazyk lze použít jako jazyk, do kterého překládáme. To můžeme formulovat subjektivně. Kdyby někdo tvrdil, že existuje teorie, která je syntakticky konzistentní, ale nekonzistentní, a definoval tuto teorii v nějakém jazyce, pak bychom mu mohli ukázat, že tato nekonzistence se objeví již v jazyce, který použil k zavedení T. Tvrzení existence teorie takového druhu však obsahuje možnost dát příklad takové teorie. V jazyce prvního řádu takový příklad být dán nemůže. Jazyk aritmetiky můžeme jednoznačně rozšířit přidáním predikátu „x je pravdivá věta aritmetiky“, vztahujícím se na kódy vět původního jazyka. V tomto jazyce lze definovat více teorií než v aritmetice. Tento jazyk je intuitivně konzistentní, a všechny teorie v něm definovatelné budou splňovat (6). Nepředpokládáme-li konzistenci tohoto jazyka a nebo jiného podobného, je otázka, jestli bychom mohli předpokládat existenci teorií, které jsou v něm definované. V obou případech, zdá se, dostáváme platnost (6).
Otázkou zobecnění tohoto výsledku na teorie nekonečných jazyků se zabývat nebudeme. Na rozdíl od nekonečné teorie formulované v konečném jazyce, je sama možnost existence nekonečného jazyka problematickou. Kdybychom připustili nekonečné jazyky prvního řádu, bude zde dosažený výsledek nadále zahrnovat nejpodstatnější část jazyků a v nich formulovaných teorií. Pro teorie v konečných jazycích, tedy teorie, které obsahují konečně vlastních symbolů, jsou standardní pravidla vyplývání úplná. Není důvod, proč totéž nepředpokládat i u nekonečných jazyků, nezdá se, že by z předpokladu nekonečného jazyka vyvstala nová námitka proti této úplnosti, která by si vyžadovala odpověď.

III. kapitola

Byla nezralým, leč úspěšným, pokusem, jak dosáhnout požadovaného počtu slov.

Seznam citované literatury

Bolzano, Bernard. Vědosloví. Praha, Academia, 1981

Bolzano, Bernard. Paradoxy nekonečna. Praha, Nakladatelství ČSAV, 1963

Cantor, Georg. 1883.Grundlagen . In: Ewald, William (ed.). From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics. Vol. II. Oxford, Clarendon Press, 1999

Godel, Kurt. 1929. On the Completeness of the Calculus of Logic. In: Feferman, Solomon (ed.), Godel, Kurt. 
Collected Works. Vol.I. New York, Oxford University Press, 1986 

Godel, Kurt. 1931. On the Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems.
In: Feferman, Solomon (ed.), Godel, Kurt. Collected Works. Vol.I. New York, Oxford University 
Press, 1986

Hilbert, David. 1918. Axiomatic Thought. In: Ewald, William (ed.). From Kant to Hilbert: a source book in the 
foundations of mathematics. Vol. II. Oxford, Clarendon Press, 1999

Hilbert, David. 1900. Mathematical Problems. In: Ewald, William (ed.). From Kant to Hilbert: a source book in
the foundations of mathematics. Vol. II. Oxford, Clarendon Press, 1999

Padoa, Alessandro. 1900. Logical Introduction to any Deductive Theory. In: van Heijenoort, Jean (ed.). From 
Frege to Godel: a source book in mathematical logic. Cambridge (Mass.), Harvard University 
Press, 1967

Peano, Giuseppe. 1989. The Principles of Arithmetic. In: van Heijenoort, Jean (ed.). From 
Frege to Godel: a source book in mathematical logic. Cambridge (Mass.), Harvard University 
Press, 1967

Tarski, Alfred. On the Concept of Logical Consequence. In: Tarski, Alfred. Logic, Semantics, Metamathematics.
Oxford, Clarendon Press, 1969

Tarski, Alfred. Undecidable Theories. Amsterdam, North-Holland, 1953 

Whitehead, A. Russell, B. Principia Mathematica. Cambridge, University Press, 1964