Barwisovo a Etchemendyho kontextové řešení paradoxu lháře
(Přednáška proslovená na Sázavě 17. 11. 2001)

Petr Hromek, FF UP Olomouc, hromekp@atlas.cz

Zpracováno podle Barwise, Etchemendy (1987), str. 34-58, a Kirkham (1992), str. 298-306.
Upozornění: Text je skoro celý opsán (přeložen) z Kirkhama. Pokud s tímto textem budete chtít “vědecky pracovat” a citovat jej, prosím, necitujte mne, ale výchozí prameny!!!

Stav věcí (state of affairs), fakt:
Obecně uspořádaná (n+2)-tice R,a1,a2,...,an;i, kde a1, a2, ..., an jsou nějaké objekty a R nějaká relace na těchto objektech, a konečně i je polarita, tj. pravdivostní hodnota 0 nebo 1. R,a1,a2,...,an;0 je fakt, že objekty a1, a2, ..., an nejsou spolu v relaci R, R,a1,a2,...,an;1 je fakt, že objekty a1, a2, ..., an jsou spolu v relaci R. Příklad: j=Julie, r=Romeo, xMy = x miluje y. Pak M,r,j;1 je stav věcí, kdy Romeo miluje Julii a M,r,j;0 stav věcí, kdy Romeo nemiluje Julii. Tyto dva stavy věcí, které se liší polaritou, nazýváme (navzájem) duální stavy věcí. Stavy věcí se však mohou týkat i propozic. Pak jsou stavy věcí rovněž Tr,p;0 a Tr,p;1, kde Tr,p;0 je stav věcí, v němž propozice p je nepravdivá a Tr,p;1 stav věcí, v němž propozice p je pravdivá.

Protokol (statement):
Druh časově zařaditelné události, kdy mluvčí chce oznamovací větou něco sdělit. Protokol může či nemusí skutečně něco sdělit. Jeho úspěšnost tak může záviset na nějakých presupozicích.

Situace:
Obecně množina stavů věcí, nějaký fragment světa (viz Wittgenstein: “Die Welt ist alles, was der Fall ist.”, Tractatus logico-philosophicus, 1).  Příklad: k=Kapulet, m=Montek, d=Desdemona, xNy = x nenávidí y, xPy = x je potomek y. Pak
{M,r,j;1,M,j,r;1,N,m,k;1,N,k,m;1,P,r,m;1,P,j,k;1,P,r,d;0,P,r,d;0}
je tragédii předznamenávající situace Shakespearova Romea a Julie na konci prvního dějství.

Propozice:
Nějaká výpověď o světě, tj. o nějaké situaci, kterou mluvčí vypovídá prostřednictvím úspěšného protokolu. Pokud skutečně existují Romeo a Julie (presupozice), pak věta “Romeo miluje Julii” vypovídá o určité situaci a tvrdí, že tato situace obsahuje stav věcí týkající se těchto dvou osob. Je-li splněna presupozice, pak se jedná o úspěšný protokol, tj. propozici. Propozice může nebo nemusí být pravdivá.

Austinovská teorie pravdivých propozic:
Propozice je pravdivá, jestliže konkrétní situace (historická, aktuální situace), o níž propozice vypovídá, patří do určitého typu situací. Uvažujme situaci, která obsahuje stav věcí M,r,j;1. Typ situací, k němuž tato situace přísluší, je množina všech situací, kdy Romeo a Julie existují (presupozice) a kdy Romeo miluje Julii. Typ této situace označíme jako [M,r,j;1], tj. [M,r,j;1] je množina všech situací s takových, že M,r,j;1s, neboli v množinové symbolice [M,r,j;1]={s | M,r,j;1s}. Pravdivá (austinovská) propozice je takový protokol o nějaké konkrétní situaci, pro niž platí, že tato situace je prvkem příslušného typu situací. Ukazujeme-li na existujícího Romea a existující Julii a Romeo miluje Julii, pak propozice prop1=“Romeo miluje Julii” je pravdivá, což zapíšeme jako prop1={s;[M,r,j;1]}, kde s je námi popisovaná situace. Naopak, pokud Romeo Julii nemiluje, je pravdivá propozice prop2=“Romeo Julii nemiluje”, což zapíšeme jako prop2={s;[M,r,j;0]}, kde s je situace, pro niž platí M,r,j;0s, a [M,r,j;0] je typ situací, tj. množina všech situací takových, že M,r,j;0s, neboli v množinové symbolice [M,r,j;0]={s | M,r,j;0s}.

Sebereferenční propozice:
Barwise a Etchemendy k modelování sebereferenčních propozic využívají teorii nefundovaných množin (AFA); též můžeme pojmenovat jako neregulární množiny. Tyto množiny se vyznačují tím, že porušují axiom fundovanosti Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin (axiom of foundation). (Rovněž se mu říká axiom regulárnosti – axiom of regularity.) Přibližně řečeno, podle axiomu fundovanosti nemůže žádná množina být prvkem sama sebe. tj. x xx. Každou množinu lze znázornit pomocí nějakého grafu (-grafu). Povolíme-li cyklické grafy, pak dostaneme nefundované (neregulární) množiny. Máme-li např. množinu a={a,b}, pak se jedná o nefundovanou množinu s následujícím cyklickým grafem:

		 a={a,b}		

			  b	

Nefundovaná množina je tedy libovolná množina, jejíž relaci náležení lze znázornit pomocí cyklického -grafu. Axiom AFA lze přibližně vyjádřit jako tvrzení: Ke každému -grafu (cyklickému nebo nikoli) existuje nějaká množina. Axiom extenzionality v AFA zní: Kdykoli mají dvě množiny strukturně izomorfní -grafy, jedná se o totožné množiny. Nyní k modelování propozic. Stavy věcí jsou uspořádané (n+2)-tice. Můžeme tedy stavy věcí modelovat pomocí grafů. Poznámka: Vycházíme z běžné definice uspořádané dvojice a,b={{a},{a,b}}. Uspořádané dvojici přísluší následující -graf.

-Graf uspořádané dvojice:
		      a,b		

	{a,b} 		 a	
				
			 b	

Stejným způsobem modelujeme uspořádané trojice, čtveřice atd. Dle definice je uspořádaná trojice a,b,c={{a},{a,b,c}}, podobně pro uspořádanou čtveřici atd. Sebereferenční propozici (zřejmě triviálně nepravdivou) p = “Toto není česká věta” lze tedy modelovat jako p={s;[Č,p;0]}. To je propozice popisující situaci s, pro niž platí Č,p;0s. Víme-li, jak modelovat uspořádanou trojici Č,p;0, pak si už snadno poradíme s modelem celé propozice p. Propozici p tak odpovídá následující cyklický -graf. (Poznámka: Pravdivostní hodnotu 0 modelujeme jako prázdnou množinu .)

				  p=Č,p,0			
									
		{Č}							
									
		Č			   {Č,p,0}		
									
						   p,0	
									
				{p}					
									
							   {p,0}	

Zcela obdobně můžeme sebereferenční propozici (zřejmě triviálně pravdivou) p = “Toto je česká věta” modelovat jako p={s;[Č,p;1]}. Propozice popisuje situaci s, pro niž platí Č,p;1s. Propozici p odpovídá následující cyklický -graf. (Poznámka: Pravdivostní hodnotu 1 modelujeme jako jednoprvkovou množinu, která obsahuje prázdnou množinu , tj. 1={}).

				  p=Č,p,1			
									
		{Č}							
									
		Č			   {Č,p,1}		
									
						   p,1	
									
				{p}					
									
							   {p,1}	
									
								 {}	

V -grafu nám oproti předchozímu grafu přibyl navíc pouze jeden uzel. AFA teorie množin nám tak zaručuje, že lze konstruovat sebereferenční propozice a že jejich teorie má solidní matematické základy.

Popření a negace:
V teorii austinovských propozic je nutno rozlišovat mezi popřením (denial) a negací (negation). Popření propozice {s;[M,r,j;1]} je {s;[M,r,j;1]}, neboli tvrzení, že konkrétní situace s není toho typu, že Romeo miluje Julii (např. proto, že není splněna nějaká presupozice). Negací {s;[M,r,j;1]} je propozice {s;[M,r,j;0]}, která nám říká, že konkrétní situace s je toho typu, že Romeo nemiluje Julii (a jsou splněny všechny potřebné presupozice). Negace tedy jednoduše převrací polaritu negované propozice, avšak popření vytváří zcela novou propozici, totiž propozici {s;[Tr,{s;[M,r,j;1]};1]}. Platí-li, že propozice {s;[M,r,j;1]} je pravdivá právě tehdy, když M,r,j;1s, pak propozice {s;[M,r,j;1]} je pravdivá právě tehdy, když M,r,j;1s.

Paradox lháře:
Paradox lháře, tj. propozice vyjádřená větou (protokolem) “Tato věta je nepravdivá”, nemá jednoznačný význam. Větu si lze vyložit buď jako popření nebo jako negaci. Verzi, že se jedná o negaci, pojmenovávají Barwise a Etchemendy jako asertivní lhář (assertive liar). Jedná se tedy o propozici
a={s;[Tr,a;0]},
tj. podle této verze je situace s toho typu, že tato propozice je nepravdivá. Druhou verzi, tj. že se jedná o popření, Barwise a Etchemendy pojmenovávají jako popírající lhář (denial liar). Jedná se tedy o propozici
p={s;[Tr,p;1]}
tj. podle této verze situace s není toho typu, že tato propozice je pravdivá. Paradox lze řešit při obou interpretacích.

Asertivní lhář:
Připomínám, že dle austinovské teorie pravdy je propozice pravdivá jestliže konkrétní situace, o níž propozice vypovídá, skutečně je typu oné situace, tj. např. v případě Romea a Julie je propozice {s;[M,r,j;1]} pravdivá právě tehdy, jestliže M,r,j;1s. V případě asertivního lháře tedy je propozice {s;[Tr,a;0]} pravdivá právě tehdy, jestliže Tr,a;0s. Tuto situaci musíme nyní porovnat s Barwisovými a Etchemendyho koherenčními požadavky na totální množinový model světa, který označme jako A. Tento model musí splňovat podmínky:
(1a) Nechť a a b jsou dva navzájem duální stavy, tj. a=R,a1,a2,...,an;0 a b=R,a1,a2,...,an;1. Pak žádný model světa nesmí obsahovat oba stavy věcí a a b.
(1b) Pro každé dva navzájem duální stavy věcí a a b platí, že model světa obsahuje právě jeden z nich.
(2a) Pro každou propozici p platí, že stav věcí Tr,p;1A právě tehdy, jestliže v tomto modelu je propozice p pravdivá.
(2b) Pro každou propozici p platí, že stav věcí Tr,p;0A právě tehdy, jestliže v tomto modelu je propozice p nepravdivá.
Předpoklad, že asertivní lhář je pravdivý, vede ke sporu, avšak předpoklad, že je nepravdivý, nikoliv. Zde jsou příslušná zdůvodnění: 
(I) Předpokládejme, že asertivní lhář je pravdivý. Pak platí Tr,a;0s. Situace s je tedy podmnožinou A, a tudíž podle (2b) Tr,a;0A, tj. asertivní lhář je nepravdivý. Předpoklad, že asertivní lhář je pravdivý, tudíž vede ke sporu.
(II) Předpokládejme, že asertivní lhář je nepravdivý. To však neznamená, že platí Tr,a;1s. Podle definice pravdy je propozice pravdivá právě tehdy, jestliže se jedná o výpověď o nějaké konkrétní situaci, pro niž je tato situace prvkem příslušného typu situací. Není-li tedy propozice pravdivá, pak propozice jednoduše není prvkem příslušného typu situací. Není-li tudíž asertivní lhář pravdivý, pak platí Tr,a;0s. Tento předpoklad k žádnému sporu nevede. Lze tedy bezesporně předpokládat, že asertivní lhář je nepravdivý, potom ovšem platí, že situace, kterou popisuje, není prvkem situace, o níž tato propozice vypovídá. To, že asertivní lhář je nepravdivý, je nicméně fakt, tj. aktuální stav věcí, který musí v totálním modelu světa být prvkem nějaké situace. Nikoli ovšem popisované situace s, ale jejího doplňku vůči A, tj. situace s*, kde s*={A–s}. Vezměme naopak propozici a´={s*;[Tr,a´;0]}. Toto je rovněž asertivní lhář, tentokrát však vypovídá o situaci s*. Proto lze opět tvrdit, že tato propozice je nepravdivá, což je fakt, který je prvkem nějaké situace, nikoli ovšem situace s, ale situace s**=s. Každý z obou těchto asertivních lhářů je o něčem jiném (o navzájem komplementárních situacích) a existuje tak důsledně vzato ke každé situaci jiný asertivní lhář.

Popírající lhář:
Dle definice je popírající lhář, tj. propozice p={s;[Tr,p;1]}, pravdivá právě tehdy, když Tr,p;1s. Předpokládejme nejprve, že popírající lhář je nepravdivý. Pak podle definice pravdivosti propozic musí platit Tr,p;1s. Potom ovšem Tr,p;1A. To však podle podmínky (2a) znamená, že je tato propozice pravdivá. Předpoklad, že popírající lhář je nepravdivý tak vede ke sporu. Stejnou úvahou jako u asertivního lháře však lze dokázat, že popírajícího lháře lze bezesporně považovat za pravdivou propozici; ovšem opět za tu cenu, že fakt, že tato propozice je pravdivá, vypovídá o situaci, jejímž prvkem tento fakt není (a ovšem ke každé situaci existuje její vlastní verze popírajícího lháře).

Důsledky:
Tím je dokázáno, že existuje celá řada nepravdivých asertivních lhářů. Asertivní lhář je však sám o sobě mnohoznačná propozice. Podobně existuje celá řada pravdivých popírajících lhářů. Popírající lhář je však mnohoznačná propozice. Ani jedna z verzí tedy nevede k žádnému sporu. Vyvození sporu na základě paradoxu lháře je tak pseudoargument založený na amfibolii (ekvivokaci samotné věty “Tato věta je nepravdivá”). Podstatnou součástí řešení je to, že je zachován princip dvouhodnotovosti. To znamená, že je vyřešen nejen paradox lháře, ale rovněž jeho zesílena varianta, tj. propozice “Tato věta je buď nepravdivá nebo není pravdivá ani nepravdivá” (v jiných řešeních paradoxu, která se vzdávají principu dvouhodnotovosti, zesílená varianta většinou není řešitelná). Řešení paradoxu však spočívá na jednom předpokladu. Je-li totiž asertivní lhář nepravdivý, pak tento fakt není součástí situace, o níž asertivní lhář vypovídá. A naopak, je-li popírající lhář pravdivý, pak tento fakt není součástí situace, o níž popírající lhář vypovídá. Odtud však nezbytně plyne, že ani jedna z těchto verzí nemůže být o celém světě. Barwise a Etchemendy ke zmírnění tohoto ad hoc požadavku kladou podmínku, že žádná propozice nesmí vypovídat o celém světě. Barwise a Etchemendy tento požadavek zdůvodňují analogií s Russellovým paradoxem. Skutečnost, že pro nějakou situaci s příslušná propozice paradoxu lháře vypovídá o situaci s*, přirovnávají k Russellově množině všech prvků nějaké množiny, které nejsou prvky sama sebe. Pro množinu a je Russellova množina ra={xa | xx}. Tato množina je nějakou podmnožinou množiny a, tj. raa, avšak nikoli jejím prvkem, tj. nikoli raa. V případě Russellovy množiny odtud plyne závěr, že univerzální třída není množina, tj. že neexistuje taková množina, která by obsahovala všechny množiny. Cantorovou diagonální metodou totiž lze dokázat, že “množina všech množin” V určitě neobsahuje alespoň jednu množinu, jmenovitě rV, tj. ve skutečnosti není množinou všech množin, ale něčím jiným, třídou. Dle Barwise a Etchemendyho podobně platí, že žádná aktuální situace není univerzální (totální) situací, neboť pokaždé existuje alespoň jeden fakt, který tato situace neobsahuje. To dále podle nich dokazuje, že totální model světa A nemůže být množinou, ale je (stejně jako V) třídou. R. I. Kirkham však jejich analogii považuje za neprůkaznou. Russellův paradox podle něj vypovídá primárně o síle množinových metod. Dejme tomu, že se pokoušíme shromáždit všechny množiny do jednoho univerza. Po krátké době však zjistíme, že to nejde, že všechny množiny do jednoho univerza shrnout prostě nelze. To je pozitivní výsledek. Avšak podobná argumentace v případě paradoxu lháře, tj. že žádná propozice nemůže hovořit o množině všech faktů, o univerzu, se zdá nepřesvědčivá. Srovnejme např. tvrzení současné kosmologie: Svět vznikl při Velkém třesku. Je tato propozice o celém univerzu nebo jenom o jeho části? Tím však jistě není nijak snížena cena jejich řešení. Řešení a využitá metoda je o to cennější, že otevírá pole k aplikaci na další cirkulární fenomény.

Literatura:
Aczel, Peter, 1988, Non-Well-Founded Sets, Stanford, CA: Center for the Study of Language and Information, Stanford University. (Matematická prezentace AFA teorie množin – text psán pro publikum z řad matematiků a informatiků.)
Barwise, Jon; Perry, J., 1983, Situations and Attitudes, Cambridge, MA: MIT Press. (Jedna z prvních monografií o teorii situací, podrobena výrazné kritice S. Soamesem, některé postoje bylo nutno revidovat. Viz Barwise, 1989.)
Barwise, Jon, 1989, The Situation in Logic, Stanford, CA: CSLI Publications. (Novější teorie situací po kritice S. Soamese.)
Barwise, Jon; Etchemendy, John, 1987, The Liar: An Essay on Truth and Circularity, New York: Oxford University Press. (Prezentace russellovské a austinovské teorie pravdy v rámci teorie situací a AFA teorie množin. Výklad je dost technicky náročný a vyžaduje obeznámenost s teorií množin. Před studiem této knihy doporučuji dále se seznámit s teorií situací a monografií R.L. Kirkhama.)
Barwise, Jon; Moss, Lawrence, 1996, Vicious Circles: On the Mathematics of Non-well Founded Phenomena, Stanford, CA: CSLI Publications. (Novější publikace zaměřená na aplikaci AFA teorie množin k modelování cirkularity. Východisko dalšího možného výzkumu.)
Devlin, Keith, 1993, The Joy of Sets (Fundamentals of Contemporary Set Theory), 2nd ed. (1st ed. 1979), New York: Springer-Verlag. (Obecný úvod do teorie množin. Poslední kapitola obsahuje stručný úvod do AFA teorie množin – ovšem pozor, platí pouze pro vydání z roku 1993.)
Kirkham, Richard L., 1992, Theories of Truth: A Critical Introduction, Cambridge, MA: MIT Press. (Úvod do teorií pravdy. Neocenitelná a nepostradatelná pomůcka, zdroj výchozích informací. V deváté kapitole je diskutován problém paradoxu lháře z hlediska Tarského teorie pravdy, Russellovy teorie typů, teorie A. N. Priora, dále z hlediska Priestovy teorie parakonzistence, Kripkeho teorie pravdy a Barwisovy a Etchemendyho teorie.)
Simmons, Keith, 1993, Universality and the Liar. An Essay on Truth and the Diagonal Argument, Cambridge: Cambridge University Press. (Kontextová teorie pravdy, sdílí s Barwisem a Etchemendym názor, že není možné sestrojit zcela univerzální propozici.)

Postskript 18.-19. 11. 2001 (odpověď Lukášovi, příjmení bohužel neznám):
Nemýlím-li se, tak námitka spočívala v tom, že pokud sebereferenční paradox lháře není o situaci, o níž vypovídá, pak je tato analýza pochybná a ruší se tím deskriptivní, případně demonstrativní konvence. Odpověď je však triviální a byla implicitně sdělena v přednášce (o čemž svědčí text, kde lze vysvětlení vyčíst), zřejmě jsem ji však dostatečně neobjasnil a námitka mne natolik zmátla, že jsem se k ní na místě nedokázal adekvátně vyjádřit. Přiznávám se, že často nedokážu bez přemýšlení odpovědět na některé otázky. Kdo však o sobě může tvrdit, že to pokaždé dokáže? V této odpovědi rekapituluji argumentaci implicitně obsaženou v přednášce.
Analýza odhalila, že asertivní lhář může být bezesporně nepravdivý. To jinými slovy znamená, že konkrétní situace, kterou asertivní lhář tvrdí, není prvkem typu situací, kdy je asertivní lhář pravdivý. To je zcela korektní analýza, jíž nic nelze vytknout. Uvažujme např. konkrétní situaci, kdy žáček u tabule s nejlepším svědomím a úmyslem ukazuje na písmeno “” a tvrdí: “Toto je řecké písmeno mí.” Předpokládáme-li, že všechna slova, která jsou ve větě použita, mají svůj obvyklý význam (že jsou splněny demonstrativní i deskriptivní konvence), pak jeho věta jednoduše nemůže být pravdivá, tj. konkrétní situace není toho typu, kdy popisované písmeno je skutečně řeckým písmenem mí. Nemáme-li dospět ke zcela jinému paradoxu, ke zjevné absurditě, totiž že je pravda cokoliv a že žáčkův dobrý úmysl ospravedlňuje jeho faktickou neznalost a jeho věta může být v nějakém smyslu pravdivá, pak tomu skutečně musí být tak, že žáčkem popisovaná situace nespadá pod typ situace, pod nějž by měla spadat, a tudíž je jeho věta nepravdivá. Tuto skutečnost učitel příslušným způsobem ohodnotí a musí tak učinit bez ohledu na nejlepší úmysly žáčka, který přes veškerou svou dobrou snahu nevyslovil pravdivé tvrzení, a tudíž za ně nemůže být odměněn stejným způsobem, jako kdyby řekl pravdivé tvrzení. Zcela obdobně je tomu u asertivního lháře. Jeho tvrzení je nepravdivé, tudíž lhářem popisovaná konkrétní situace není prvkem typu situací, o níž se hovoří. 

Austinovské schéma pravdivé propozice:
propozice je učiněna úspěšným protokolem		
propozice			protokol		
					
	propozice referuje ke 
konkrétní situaci			protokol
popisuje typ situací	
	(demonstrativní konvence)			(deskriptivní konvence)	
konkrétní situace			typ situací		
konkrétní situace je prvkem typu, tj. množiny situací		
Poznámka: V Austinově schématu je na místě propozice statement a na místě protokolu sentence.

Fakt, že asertivní lhář je nepravdivý, je však sám nějakým pravdivým faktem, a tudíž musí spadat pod zcela jinou situaci než pod konkrétní situaci, k níž asertivní lhář referuje. Nic nepřijatelného zde nevidím. Vtip spočívá pouze v tom, že tvrzení asertivního lháře nelze rozšířit tak, aby konkrétní situací, o níž asertivní lhář referuje, byla totalita světa. U asertivního lháře tedy neselhává v žádném případě demonstrativní konvence, ale pouze relace náležení konkrétní situace do typu situací. Alespoň já zde žádné selhání demonstrativních či deskriptivních konvencí nevidím.
Totéž platí mutatis mutandis o popírajícím lháři. Opět musíme rozlišovat mezi faktem, který popírající lhář popisuje, a faktem, že popírající lhář je pravdivý. Jedná se o dva docela jiné fakty a analýza nebyla vyvrácena. Opakuji argument, který byl naznačen v přednášce: Stejnou úvahou jako u asertivního lháře však lze dokázat, že popírajícího lháře lze bezesporně považovat za pravdivou propozici; ovšem opět za tu cenu, že fakt, že tato propozice je pravdivá, vypovídá o [konkrétní] situaci, jejímž prvkem tento fakt není (a ovšem ke každé situaci existuje její vlastní verze popírajícího lháře). Popírající lhář tedy vypovídá pravdivý fakt, že konkrétní situace, k níž referuje, nepatří do typu situací, kdy je popisovaná propozice pravdivá, tj. jinými slovy, že s v {s;[Tr,p;1]} není prvkem [Tr,{s;[Tr,p;1]};1]. To je však triviální. Říkám-li pravdivé tvrzení, že určitá věta je nepravdivá, pak ona popíraná věta samozřejmě nemůže být pravdivá. Odkazuje-li onen druhý fakt na jinou konkrétní situaci než je konkrétní situace, o níž vypovídá popírající lhář, pak zde opět není nic paradoxního či nepřijatelného. Vtip spočívá pouze v tom, že ani teď nelze konkrétní situaci, k níž popírající lhář referuje, rozšířit na totalitu světa. Myslím tedy, že vznesená námitka je založena na nedorozumění. Promyslíme-li dostatečně celou věc, nenajdeme na ní zřejmě nic nepřijatelného. Prosím Lukáše o odpověď na mou odpověď. P.H.

ODPOVĚĎ LUKÁŠE NOVÁKA